The Yellow Lion King 데이터와 함께 살아가기

이번 강의 주요내용

Generative Learning Algorithm
- Gaussian Distributed Analysis(GDA)
- Generative vs Descriptive comparison
- Naive Bayes(나이브 베이즈)

Generative learning algorithm

지난 시간에 배운 로지스틱 회귀에 대해서 다시 생각해봅시다. 종양을 보고 양성인지 음성인지 판단하는 모델을 생각해봅시다. 아래와 같이 x는 양성(암) o는 음성이라고 할 경우 우리는 선을 그려가면서 어떤 선이 가장 잘 판단하는지를 구분하는, 좋은 '선'을 찾는 문재로 생각할 수 있습니다. 이런게 Descritive 방법이지요.

로지스틱 회귀와 다르게 GLA는 알고리즘은 클래스의 특징을 먼저 배웁니다. 악성종양의 데이터들을 보면서 아! 악성종양은 위쪽에 모여있구나 이것을 배우고 음성종양의 데이터를 보면서 음성종양은 아래쪽에 모여있구나를 학습하게 됩니다. 그렇게 해서 악성종양 모델은 위쪽 빨간색 동그라미에 모여있고 음성 종양모델은 아래쪽 빨간색 동그라미에 모여있다는 것을 모델이 학습하게됩니다. 이를 이용해서 새로운 빨간점 데이터가 들어왔을때 어느 모델의 동그라미에 속하는 지를 보고 판단하는 방법이 GLA(Generative learning algorithm)입니다.

다시 말하면 Descriptive 학습은 x가 주어지면 h(x)함수가 0인지 1인지 알려주는 모델이었습니다. 그에 반해 Generative 는 먼저, y(양성 또는 음성 중 하나의 클래스)가 주어졌을때 x가 나올 확률을 계산합니다. 전체 중에 y의 확률은 전체 데이터를 가지고 구할 수 있습니다(사전확률). 여기에 베이즈 룰을 적용해서 x가 주어졌을때 y가 1(악성)일 확률을 구할 수 있습니다. 이러한 방법이 Generative 알고리즘의 프레임웍 입니다. 사전확률과 개별 사건의 확률을 구하고 이를 이용해서 새로운 x에 대한 y일 확률을 구할 수 있습니다. 이 설명을 관련 공식으로 정리하면 아래와 같습니다. 왼쪽이 사전확률과 개별확률을 구하는 공식이고 오른쪽이 새로운 x가 들어왔을 때 확류을 구하는 공식입니다. 잘 보시면 왼쪽에서 빨간색 사각형 부분들과 오른쪽 아래에 빨간색 사각형의 공식을 이용해서 오른쪽 위에있는 P(y=1 | x)를 구할 수 있습니다.

오늘 두가지 유형의 데이터(연속형 continuous-GDA, 이산형 discrete-Naive Bayer)에 대한 모델을 배울 것 입니다.

*** Discriminative와 Generative 모델의 이해를 위해 위키피디아에서 Generative model 에 대한 정의를 찾아봤습니다.
In statistical classification, two main approaches are called the generative approach and the discriminative approach. These compute classifiers by different approaches, differing in the degree of statistical modelling. Terminology is inconsistent,[a] but three major types can be distinguished, following Jebara (2004):

1. A generative model is a statistical model of the joint probability distribution {\displaystyle P(X,Y)} on given observable variable X and target variable Y;[1]
2. A discriminative model is a model of the conditional probability {\displaystyle P(Y\mid X=x)} of the target Y, given an observation x; and
3. Classifiers computed without using a probability model are also referred to loosely as "discriminative".

Discriminative 모델은 조건부 확률이고 Generative모델은 결합 확률 분포를 이용한다는게 다른 점 입니다. 강의 중에도 내용이 나오니까 계속 보겠습니다.

Gaussian Distributed Analysis(GDA)

GDA의 가정들은 아래와 같습니다. 가장 중요한 가정은 사용되는 데이터가 가우시안 분포라고 가정합니다.

단일 피처 데이터에 대해서는 표준 정규 분포를 이용하면되고 여러 피처에 대해서는 다변량 정규 분포를 이용합니다. 하나의 피처 데이터 항목으로는 많은 문제를 해결할 수 없으므로 여러 피처를 이용하는 다변량 정규 분포를 배우는 것이 중요합니다.

아래는 2개의 피처를 사용하는 2차원 다변량 정규 분포를 시각화 한것 입니다. 이미지 위에 있는 공식의 ∑ 값에 따라 그래프의 모습이 바뀌는 것을 보실 수 있습니다.

이러한 그래프를 2차원 그래프로 바꾸면 아래와 같습니다.(가운데 각 동그라미는 모두 완벽한 원입니다.)

가중치를 바꾸자 완벽한 원이 었던 것이 타원형이 되었습니다.

y의 각 클래스 별로 확률을 구하는 공식은 아래와 같습니다. 둘다 정규분포를 가정하고 작성된 것입니다. 그래서 정규분포의 확률밀도함수와 유사합니다.

그리고 여기에 사용되는 파라메타에 대해서 이야기합니다. 뮤0, 뮤1, 입실론, 피/파이 입니다. 이러한 파라메타를 잘 훈련해서/찾아서 모델을 만들면 앞의 그림에 있는 베이지안 룰을 통해서 새로운 데이터 x가 주어졌을 때 y가 1일 확률을 구할 수 있습니다.

훈련데이터에 대한 표기 법을 설명합니다. 그리고 조인트(결합) 가능도를 구하는 공식을 유도합니다.

조건 가능도를 구하는 공식을 유도합니다.

최대 가능도 추정법(MLE)을 통해서 파라메타들을 찾습니다.

각 파라메타들을 공식으로 유도한 내용입니다. 직관적으로 설명하면 오른쪽 아래의 그림처럼 각 클래스 집단의 중간에 있는 값이 평균(뮤)가 됩니다. 뮤0는 전체 데이터중에 y가 0인(음성인) 데이터 피처 벡터들의 합을 y가 0인(음성인) 데이터의 전체 개수로 나눈 값입니다. 즉, 평균값 입니다. 그래서 집단의 중간에 위치하게 됩니다.

입실론도 아래와 같은 공식으로 유도됩니다. 예측 시에는 확률 값을 최대로하는 값을 찾는 argmax함수를 이용합니다.

Generative vs Descriptive comparison(37:00)

선형회귀모델의 최초 학습을 위해 변수를 0으로 셋팅하고 선을 그어본 그림입니다. 반복 iteration을 할 수록 잘 구분하는 선으로 바뀌는 것을 보여 줍니다.

이것이 로지스틱 회귀를 이용한 분류 학습 알고리즘 입니다.


반면 GDA는 각 클래스의 분포를 먼저 계산하고 각 분포간의 거리를 기준으로 분류 선을 그립니다. 동그라미 데이터들을 보면서 동그라미 클러스터(집단)의 중앙 위치를 찾습니다. 그다음 x 데이터들을 보면서 x 클러스터의 중앙 위치를 찾습니다. 둘사이의 거리 중간을 기준으로 선을 긋습니다.

두 모델의 결과를 비교해보면 아래와 같습니다.

결국 둘다 모두 분류 모델을 만드는 것인데 그 방법이 서로 다르네요 즉, 직선을 그어가면서 제일 잘 분류하는 선을 찾을 것인지 아니면 분류된 분포를 보고 두 분포를 분리하는 선을 찾을 것인지가 다릅니다.

훈련 데이터가 하나인 경우를 가정하고 설명합니다. 종양의 크기라고 해보죠 x로 표시된 것은 악성종양, o로 표시된 것은 음성 종양입니다. 제일 위의 그래프는 직선에 종양 크기별로 표시한 내용이고 그 아래 두번째 그래프는 각 클래스에 대한 빈도를 그린 곡선입니다. 두 개의 정규분포 그래프가 보이네요. 그리고 제일 아래 그림은 새로운 예측 데이터 x가 주어졌을 때 y가 1(악성종양)일 확률을 x의 크기에 따라 그려본 그래프 입니다. 정확하게 시그모이드 함수와 일치합니다.

결국 두 모델 다 시그모이드 함수를 사용한 것과 같습니다. 그러나 접근 방법이 다르기 때문에 위에서 보여드린 두 모델의 비교 그림에서 보이는 것처럼 서로 다른 직선을 만듭니다.



두 모델의 차이점과 특징, 언제 GDA가 더 유용한지?

• GDA는 정해진 분포를 가정하고 계산하기 때문에 훈련데이터의 분포를 잘 알고 있는 경우 사용하면 좋다.
• GDA가 더 가정에 강하기 때문에 더 잘 설명한다(중앙의 화살표처럼 GDA로는 로지스틱회귀를 설명할 수 있지만 반대로는 안된다.)
• GDA는 적은 계산으로 좋은 성능을 낼 수 있다. (반복 계산할 필요없고 평균, 편차에 대한 행렬계산만 하면 끝난다)
• 로지스틱 회귀는 훈련데이터의 분포를 모를 때도 사용할 수 있고 좋은 결과를 나타낸다.
• 세상 대부분이 정규분포이기 때문에 데이터가 많이 있으면 로지스틱 회귀를 사용하는게 좋다.
• 데이터를 점점 더 많이 사용할 수 있게되고 계산 비용(인프라 비용)이 저렴해짐에 따라 로지스틱 회귀를 사용하는 사례가 많아진다.
• 데이터가 적은 상태에서 모델을 만드려면 고급 스킬이 필요하다. 적은 데이터로도 효과적인 모델을 만들 수 있다.

Naive Bayes 나이브 베이즈

Generative 모델중 하나인 나이브 베이즈에 대한 설명 입니다.
이메일에 대한 스팸 여부를 분류하는 모델 개발을 생각해 봅시다. 10,000개의 단어가 있는 사전을 가지고 있다고 합시다. 하나의 이메일 x 에 대해서 해당 단어가 있는지(1) 없는지(0)에 따라서 아래 처럼 표시할 수 있습니다. (One-hot Encoding)

아래와 같은 가정을 합니다.

각 단어들은 독립적이라고 가정하고 각각의 확률은 체인 룰을 통해 아래와 같이 정리될 수 있습니다.

찾아야할 파라메타는 스팸메일(y=1) 일때 xj 단어가 나타날 확률과, 스팸메일이 아닐 때(y=1) xj 단어가 나타날 확률 입니다. 그리고 전체 메일중에 스팸메일이 나타날 확률 입니다.

GDA와 같이 조인트 가능도를 구합니다. 모습도 GDA와 유사하게 됩니다.

이번 강의 에서는 Generative 모델과 Discretive 모델의 차이와 Generative 모델에 해당하는 Gaussian Distributed Analysis 와 Naive Bayers 알고리즘에 대해서 배웠습니다.



아래는 강의 동영상 링크 입니다.
https://www.youtube.com/watch?v=nt63k3bfXS0&list=PLoROMvodv4rMiGQp3WXShtMGgzqpfVfbU&index=5

Lecture 3 - Locally Weighted & Logistic Regression | Stanford CS229: Machine Learning (Autumn 2018)

이번 강의 주요내용

• Linear Regression(Recap 지난시간내용)
• Locally Weighted Regression(지역가중회귀)
• Probabilistic Interpretation(확률 해석)
• Logistic Regression(로지스틱 회귀)
• Newton's method(뉴턴 방법)

Linear Regression(Recap 지난시간내용)

• (x^(i), y^(i)) : 입력 x값중 i번째 값(또는 백터)과, 출력 y값중 i번째 값을 의미한다. i 번째 예시라고 한다.
• x^(i) ㅌ R^n+1 : 입력 x의 i 번째는 전체행렬(R^n+1) 의 일부이다.
• y^(i) ㅌ R : 출력 y의 i번째는 전체행렬(R) 의 일부이다.
• m : 전체 예시 수
• n : 전체 입력항목(feature)의 수
• 선형회귀 모델 : hθ(x) = ∑ j=0,m  θj xj    = θ^T X  (단, θ0 = 1)
• 비용합수 : J(θ) = 1/2  ∑ j=0,m ( hθ(xj) - yj )^2   

지난 강의에서는 위의 내용들을 공부했고 이를 통해 기계학습 모델을 만드는 방법을 배웠습니다. 즉, 선형회귀 모델을 이용해서 2차원의 데이터에 대한 최적의 모델을 찾는 방법을 공부했습니다. 최적의 모델을 찾기 위해서는 실제 값과 모델이 출력한 값의 차이를 최소화하는게 필요합니다. 그래서 이런 차이 값을 계산하는 비용합수(코스트 함수, Cost Function)을 정의할 수 있고, 이 함수에 훈련 데이터를 하나씩 대입하면서 나온 차이들의 전체합을 최소화 시키는 파라메터(세타 theta θ)를 찾는 방법으로 Gradient Descent를 알아 보았습니다. 

• θj := θj - α  편미분(θj)   * J(θ)
• θj := θj - α ( hθ(x) - y ) * Xj
• θj := θj - α  ∑ i=1,m ( hθ(x(i)) - y(i) ) * x(i)j   
  
  

Locally Weighted Regression(LWR)

그런데 1차원, 2차원 정도가 아니라 복잡한 선형인 경우 어떻게 해야할까요?

파라메타(Parametar, 모수: 평균,분산,표준편차 등) 를 정하는 방법에 따라 크게 두가지 학습방법으로 나뉩니다.

파라메트릭 학습 알고리즘(Parametric Learning Algorthm)은 주어진 데이터를 가지고 최적의 파라메타(모수)를 찾아 정하는 방법입니다. 지난 시간에 배운 선형회귀 방법이 그 예입니다.

비파라메트릭 학습 알고리즘(Non-Parametric Learning Algorthm)은 주어지는 데이터의 양에 따라서 파라메타 값을 누적해가면서 파라메타를 찾고 정의하는 방법입니다.

LWR은 비파라메트릭 방법중 하나로 그 컨셉은 이름에 나와있는 것처럼 로컬에 중심해서 회귀선을 만들고 추정하는 방법입니다. 이 내용을 그래프와 함께 설명해 줍니다. 선형회귀 에서와 같이 최적의 세타(θ)값을 찾는것이 아니라 지역에서 찾는 것입니다.

LWR은 그림에서 처럼 x값이 주어졌을 때 특정 구간을 기준으로 직선(공식/모델)을 만들고 이것에 따라 추정/예측하는 방법입니다. 이렇게 만들어주는 가중치를 찾는 것이지요. 즉, x 값과 가까운 것에 많이 신경쓰고 멀리 있는 것은 신경을 덜 쓰도록 만드는 것입니다. 이부부은 마치 딥러닝에서 어텐션(Attention) 방법이나 NLP에서 Word 2 Vec/n-gram 같은 것을 연상하게 합니다.

LWR = ∑ i=0,m  W(i)  ( y(i) - θ^T x(i) )^2   

가중치 행렬은  

W(i) = exp(-   (x(i) - x)^2  /  2 τ(tau)^2  )

입니다.    exp(지수) 표현이기 때문에 (x(i) - x) 값이 작아지면 W(i) 값이 1에 가까워지고 반대로 커지면 0에 가까워집니다.  일반적으로 그리고 기본적으로 사용되는 공식이라고 합니다. 이공식은 가우시안 분포와 같은 종모양의 분포를 따릅니다. 그래서 아래와 같은 그림이 그려집니다.

수평축에 x가 주어졌을때  그래프 상에 표시된 관측치(X표시)의 y 값을 그대로 사용하는게 아니라 하단에 있는 종모양의 녹색 선에 해당하는 가중치를 적용하여 계산하는 것입니다.  이렇게 계산할때 변수가 되는게 x 주변 좌/우 어디까지의 범위를 기준으로 w를 찾을 것인가 입니다. 이 범위의 크기에 따라서 모델이 오버피팅(over fitting) 또는 언더피팅(under fitting) 됩니다.  그리고 가우시안 형태만이 아니라 여러가지 다른 함수를 이용할 수 있다고 합니다.

Probabilistic Interpretation

왜 제곱오차를 이용할까요?

주택 가격예측 예시를 기반으로 선형회귀 모델을 만들어보면 아래와 같습니다.

y(i) = θ^T x(i) + e(i)

e(i)는 자연 발생한 오차를 말하는데 정규분포(가우시안분포)를 따른다고 가정합니다. 그리고 데이터 샘플들이 각각 IID(Independently and Identically Distributed)하다고 가정합니다. 각각 독립적이고 서로 영향을 안준다는 의미입니다.

이러한 가정은 x가 주어졌을 때 y의 값을 (x와 θ가 적용된) 변형 가우시안 분포에서의 확률로 구할 수 있다는 의미입니다. (이말은 정규 분포를 가정했을때 실제 값에 매우 가까운 값을 (MLE를 통해) 구할 수 있다는 것 입니다. MLE를 쉽게 말하면 정규분포를 가정하에 관측치를 기반으로 가장 가능성 높은 실제 값을 구하는 방법입니다. )

P(y(i) | x(i); θ) = 1 /  √2πσ  *  exp(-   ( y(i) - θ^T x(i) )^2  /  2 σ^2  )

(31:00) 용어 중 혼동하기 쉬운 것이 확률(Probability)과 가능도(Likelihood) 입니다.

probability of data : 파라메터가 정해진 경우 입력 데이터를 바꾸어 가면서 나온 값을 확률 이라고 부릅니다.

likelihood of theta  : 입력 데이터를 고정된 것으로 생각하고 파라메터를 변경해가면서 나온 값을 가능도/우도 라고 합니다.

MLE(Maximum Likelihood Estimation) 38:12

MLE란  L(θ) : Likelihood of theta 이고     l(θ) : log likelihood of theta(L(θ)에 log를 적용한 것) 일때    l(θ)를 최대화 시키는 θ를 찾는 것입니다. 

L(θ) : Likelihood of theta.      l(θ) : log likelihood of theta

결국 제곱 오차를 사용하는 것이 가우시안분포를 가정한 확률분포상의 가능도를 MLE로 계산하는 것과 같은 효과를 나타냅니다.  일상 대부분의 데이터가 정규분포를 따르고 있다는 가정에서 모델과 파라메타를 정규분포로 가정하는 것은 자연스러운 가정이고, 따라서 정규분포 기반의 MLE계산이나 제곱 오차가 같은 효과를 나타낸다는 것은 말이 되는 것 같습니다.

Logistic Regression

Classification 43:20

y 벨류가 0, 또는 1인 분류 문제에 대해서 설명합니다. 이처럼 2개 분류가 있는 것을 바이너리 분류(Binary classification)이라고 합니다. 분류 문제에 선형회귀를 적용하는게 안좋을 때가 많습니다. 특히, 아웃라이어가 아니면서 차이가 큰 특이한 x 값을 훈련 데이터에 포함하는 경우 선형회귀의 직선이 특이한 x값을 제외했을 경우랑 매우 다른 모양이 되어 정확한 분류가 안되는 경우가 있습니다. 그래서 교수님은 분류 문제에 선형회귀를 안쓰신다고 하네요.  

그래서 분류에 가장 많이 사용되는 로지스틱 회귀(모델)에 대한 설명을 해주십니다.

hθ(x) ∈ [0, 1]       

(For values of h subscript tehta of x lies in the set from 0 to 1)

즉, 모델이 x을 입력으로 받아서 0, 또는 1을 출력해야 합니다. 그래서 계산은 어떻게 되더라도 주어진 값을 0또는 1로 만드는 함수인 g(z)함수(시그모이드 함수, 로지스틱 함수)를 만들어서 적용합니다.

hθ(x) = g(θ^T x) =  1 / (1 + e^(-θ^T x))  

g(z) = 1 / (1 + e^-z)      : sigmoid function, logistic function  

이러한 함수를 다시 확률로 바꾸어서 종양의 양성과 음성을 분류하는 경우를 설명해 보면 다음과 같습니다.

P(y = 1 | x; θ) = h(x)        - 공식(1)

: 변수 x와 θ가 주어졌을 때 양성(y=1)일 확률은 모델이 x를 가지고 예측한 값과 같다.  

P(y = 0 | x; θ) = 1 - h(x)      -공식(2)

: 변수 x와 θ가 주어졌을 때 음성(y=0)일 확률은 1에서 모델이 x를 가지고 예측한 값을 뺀 것과 같다.  

y ∈ {0, 1}   : 즉, y가 0또는 1만 가능하므로 위의 두 식을 아래와 같이 하나로 합칠 수 있습니다.

P(y | x; θ) =  h(x)^y * (1- h(x))^1-y     - 공식(3)

(위 공식에서 y=1 이라고 가정하고 계산해 보면, 모든 수의 영제곱(^0)은 1이기 때문에 (1-h(x))^1-y가 1이 되서 계산 결과 값이 h(x)가 나오게되며 결국 이것은 공식(1)과 같습니다.   반대로 y=0이면 공식(2)와 같아집니다.)

상기 내용을 기반으로 세타의 최대 유사도 공식을 구해보면 아래와 같이 됩니다.

L(θ) = P(->y | x; θ)   = ∏i=1,m  p(y(i) | x(i); θ)    여기에서 p(y(i) | x(i); θ) 대신에 위의 공식(3)을 적용해 보면

=  ∏i=1,m  h(x(i))^y(i) * (1- h(x(i)))^1-y(i)        - 공식(4)

선형회귀때와 마찬가지로 여기에 로그를 적용한 공식으로 바꾸면 아래와 같습니다.

l(θ) = Log L(θ)  = ∑i=1,m  y(i) log h(x(i)) + (1- y(i)) log (1-h(x(i))

로그 함수는 단조증가함수 이기 때문에 l(θ)를 최대화 시키는 θ를 찾는 것이나 L(θ)를 최대화 시키는 θ를 찾는 것이나 같은 의미입니다. 그래서 결국l(θ)를 최대화 시키는 θ를 찾는 것이 목표이며 이를 위해 Batch Gradient Descent를 수행합니다. 

θj := θj + α  편미분(θj) * l(θ)      - 공식(5)

이것은 선형회귀에서 했던 θj := θj - α  편미분(θj) * J(θ) 와 비교해보면 +/- 기호가 다르고 l(θ)/J(θ)가 다릅니다. 다른 이유는 선형회귀에서는 함수의 오차를 최소화 시키는 θ를 찾아야 하는 것이고, 로지스틱 회귀에서는 유사도를 최대화 시키는 θ를 찾아야 하기 때문입니다.

공식(5)의 편미분(θj) * l(θ) 부분을 실제로 미분하면 아래와 같습니다.

θj := θj + α ∑i=1,m  (y(i) - hθ(x(i)) * x(i)j)   - 공식(6)

지난 시간에 배웠던 선형회귀의 Gradient Descent공식(θj := θj - α  ∑ i=1,m (hθ(x(i)) - y(i)) * x(i)j  )와 비교해보면 부호가 다르고 차이를 구할때 y - h(x)를 할지 아니면 h(x)-y를 할지가 다릅니다. 위에서 선형회귀는 분류 문제에 적합하지 않다고 했는데 왜 위의 공식에서는 선형회귀와 유사한 공식이 사용될까요?

바로, GD 공식은 동일하게 2차원곡선(아래로 오목: convex 또는 위로 볼록: concave)으로 결국 최저점 또는 최고점을 찾는 공식이기 때문에 그렇습니다. (순서가 바뀐 것은 likelihood를 구할 때 분류 문제이기 때문에 확률 1에서 모델이 계산한 값을 빼는 방법으로 계산이 필요해서 바뀐 것 같습니다.) 

Newton's method (1:05:55)

설명을 위해 새로운 예를 사용합니다.

우리가 원하는 것은 f라는 함수인데, 이 함수는 가중치(세타θ) 가 주어졌을 때 0을 반환하는 함수 입니다.

f(θ) = 0

이렇게 만드는 θ를 찾기를 원하고 있는 거죠. 이를 위한 비용함수 l(θ)의 최대값을 찾는 것이지요.

이말은 예를 들면 함수를 log likelihood 함수의 미분(ㅣ'(θ))이 0이되는 θ를 찾는 것이 됩니다. 즉, 

f(θ) = l'(θ) = 0

(지금 우리가 원하는 것은 Gradient Descent 와 같이 특정 조건을 만족시키는 값을 찾기 위한 반복 알고리즘 입니다.)

x1 이 주어졌을때 f(x1) 값을 가지고 미분하여 가로축과 만나는 x2를 알수 있고 다시 x2로 이동하고 이를 이용하여 f(x2)계산해서 x3의 위치를 알 수 있습니다. 이러한 방법으로 계속해나가면 빠르게 0과 만나는 점을 찾을 수 있습니다. 이러한 방법이 뉴튼의 방법 입니다.

아래는 위키에 정의된 뉴턴 방법입니다.

"수치해석학에서, 뉴턴 방법(영어: Newton's method)은 실숫값 함수의 영점을 근사하는 방법의 하나이다. 뉴턴-랍슨 방법(영어: Newton–Raphson method)이라고도 불린다."

위에서 글로 설명했던 내용을 공식으로 정리한 판서 내용 입니다.  시간(t)에 계산된 theta에서 기울기를 기준으로한 변화량 델타(delta, △) 만큼을 빼서 시간(t+1)의 값(위치)를 찾아내고 이를 반복합니다.

이것은 Quadratic Convergence 라는 특징을 갖는데, 예를 들면 첫번째 에러가 0.01 error라고하면 다음 반복에서 0.0001 error가 발생하고 그 다음 반복에서 0.00000001 error가 발생한다. 빠르게 낮은 에러로 접근한다 는 것입니다. 즉, 엄청 빠르게 수렴한다는 것입니다. 그래서 Gradient Descent와 다르게 빠르게 변수를 찾을 수 있습니다.

단점은 큰 행렬을 전환해야한다는 것입니다. 그래서 파라메타 수가 작으면 (보통 50개 이하인 경우) 연산이 빠르지만 더 많으면 백터 연산이 오래걸려서 비효율적입니다. 이럴땐 Gradient Descent를 쓰는게 더 효과적이라고 합니다. 

아래는 강의 영상 링크입니다.

https://www.youtube.com/watch?v=het9HFqo1TQ&list=PLoROMvodv4rMiGQp3WXShtMGgzqpfVfbU&index=3 

주요내용:

• Linear Regression(선형회귀)
• Batch/Stochastic Gradient Descent(SGD: 일괄/확률통계 경사 강하법)
• Normal Equation(정규 방정식)

지난 시간에 이야기했던 주택 사이즈를 통한 주택 가격 예측하는 예를 설명합니다.

전통적인 지도학습의 프로세스를 위와 같이 말하면서 결국 기계학습의 목표는 (Inferencing Data)입력을 받았을 때 적절한 추정(Predicted Data의) 예측/매핑 값을 만드는 모델을 만드는 것이라 말합니다.

기계학습 모델을 만들때 상기 프로세스에 있는 요소들에 대한 많은 의사결정들이 필요한데(어떤 데이터를 쓸것인지, 어떤 알고리즘을 쓸것인지 등) 각각에 대해 적합한 의사결정을 하는 것이 좋은 모델을 만드는데 매우 중요하다고 합니다.

선형회귀(Linear Regression)

모델(가설, h)의 표현 방법중하나가 선형회귀(Linear Regression)입니다. 기본표현식은 아래와 같습니다. 입력 데이터 항목이 한 개(x, 예시에서는 주택 크기)가 있는 경우입니다.

h(x)= θ0+ θ1*x

즉, 주택 크기를 입력해서 가격을 예측하는 모델을 만든다고 할경우 x는 주택 크기가 되고 h(x)는 주택 가격(모델의 아웃풋/예측값)이 됩니다.

주택 크기, 방의 수 처럼 항목이 2개인 경우는 h(x)= θ0 * x0 + θ1 * x1 + θ2 * x2  입니다. 

항목이 많아질 경우 수식이 길고 복잡해지므로 간단한 수식으로 정리하면 아래와 같습니다.

향후 나올 표기법들에 대핸 정리해 봅니다.

• θ = parameters 파라메타라고 합니다. feature 수 만큼의 파라메타가 필요하므로 j 개의 백터로 표시할 수 있습니다.
• m = 훈련 데이터 예시의 갯수
• x : "inputs"/features
• y : "outputs"/target
• (x, y) = 하나의 훈련 데이터 예시
• (x(i), y(i)) = i번째 훈련 데이터 예시, x(1) = x의 1번째 훈련 데이터 값
• n = feature 갯수

• 0위에 화살표 = 모든 원소값이 0인 백터
• :=  는 := 오른쪽에 있는 값을 왼쪽으로 할당한다는 표현( a := a + 1의 의미는 a의 값을 1 증가시킴)

좋은 모델은 무엇일까요!  모델의 아웃풋(예측값, h(x))이 실제 정확한 주택 가격인 y와 일치하는 것입니다.  이렇게 잘 일치시키기 위해 모델에서 바꿀 수 있는 값은 파라메터(θ)값 밖에 없습니다. 따라서 적절한/좋은 파라메터를 찾는 것이 좋은 모델을 만드는 것입니다. 다시 말하면 모델의 아웃풋과 실제 y 값의 차이를 작게 만드는 것이 목표입니다. 이것을 공식으로 바꾸어보면 

minimize (h(x^1) - y^1)   이렇게 됩니다. x^1 과 y^1 의 차이를 최소화 하는 것입니다.

x, y가 하나의 값이 아니기 때문에 여러 x(즉, x^(i))와 y(y^(i))에 대해서 누적 합계 계산이 필요합니다. 전체 훈련 데이터 예시 개수가 m 이므로 아래와 같이 정리가 됩니다.

J(θ) = 1/2  ∑ j=0,m ( h(xj) - yj )^2      (여기서 j는 훈련 데이터 예시의 인덱스)

이처럼 모든 훈련 데이터에 대한 전체 오차를 계산하는 함수 J(θ)를 코스트 함수(Cost function)이라고 합니다.  제곱으로 인해 일반적으로 값이 커지기 때문에 전통적으로 1/2로 값을 줄여준다고합니다. 그리고 오차 계산 시 왜 그냥 차이나 차이 절대값 등 다른 값을 안쓰고 제곱을 쓴 이유는 가우시안과 연계되어 있어서 라고하며 다음주에 더 자세히 말하겠다고 합니다.

이제 코스트 함수 J(θ)를 최소화하는 θ값을 찾기만 하면 좋은 모델을 만들 수 있습니다. 시작시 일단 θ를 모두 0 으로 정하고 모든 인풋 데이터 x에 대해서 h(x)를 계산하고 각각에 해당하는 y와의 차이를 제곱하여 J(θ)구할 수 있습니다.   그리고나서 θ값을 바꾸어가면서 가장 작은 J(θ)값을 찾으면 됩니다.  θ를 찾는 방법에 대한 설명을 위해 Gradient Descent를 설명합니다.

Gradient Descent

GD(Gradient Descent)를 아기 걸음에 비유하여 설명합니다. 그림과 같은 언덕(산)이 있을때 재일 위에 있는 검은 십자 표시에 아기가 서있고 제일 낮은 곳으로 가기위해 걸음을 걷는다고 생각해봅니다. 아기는 보폭에 해당하는 주위 360도를 둘러보고 제일 낮은 곳에 있는 것으로 보이는 방향으로 한걸음 옮김니다. 다시 이자리에서 주위 360를 돌아보고 제일 낮을 곳을 찾아 그쪽 방향으로 또 한걸음 옮김니다. 이렇게 계속하다보면 제일 아래쪽에 있는 검은 십자 표시에 다다른다고 설명합니다. GD의 특징으로 처음 시작점이 다르면 최종으로 다다르는 곳이 다를 수 있다는 것입니다. 

θ 값을 어떻게 바꿀 것인가? 방법을 GD로 사용했을 때 공식은 아래와 같습니다.

θj := θj - α  편미분(θj)   * J(θ)

α은 학습율(learning rate, 아기의 한 걸음 크기)이고, J(θ)를 시그마 σ가(전체합이) 아닌 1개의 테스트 데이터에 대해서 적용한다고 가정후 공식을 정리하면 아래와 같이 됩니다.

θj := θj - α ( hθ(x) - y ) * Xj

코스트 함수의 값이 커지면 학습이 안되고 있다는 것인데 문제의 이유중 하나가 학습 비율(Learning Rate)을 너무 크게 잡은 경우가 그럴 수 있습니다. 그래서 응 교수님은 두배씩 증가한 몇개의 학습 비율을 가지고(O2, O4, O8...) 테스트해 본다고 하십니다.

위 공식은 1개 태스트 데이터에 대해서 한것이고 이를 모든 훈련데이터에 적용하는 공식은 아래와 같습니다.

θj := θj - α  ∑ i=1,m ( hθ(x(i)) - y(i) ) * x(i)j   

(굵은 글씨 부분이 J(θ)를 θj로 편미분하는 것과 같은 부분입니다.,  j 는 피처의 순서로 예시의 경우 주택 크기와 방의 개수 데이터를 이용하므로 2 + 1(x0)이 되서 0부터 2까지가 됩니다.) 33:29

위 식을 말로 풀면 j번째 세타 값을 업데이트하는데 이 업데이트하는 값은 기존 세타 값에서 학습율과 편미분 값의 곱한 값을 빼서 구하는데, 이 편미분 값이란 모델이 출력한 값과 실제 값의 차이를 제곱한 값들의 합을 x의 값을 곱한 값을 모두 합친 값입니다.

이처럼 모든 훈련 데이터에 대해서 적용하는 Gradient Descent 방법을 Batch Gradient Descent라고 합니다.

좋은 질문과 답들이 나옵니다. 예를 들면 Batch GD가 더 정확한거 아닌가? 그런데 왜 실무에선 Stocastic GD를 많이 쓰나?, 언제 SDG를 중지해야 하나? 등입니다.

Normal Equation(정규 방정식)

선형회귀의 경우 이런 GD를 하지 않고도 바로 최소값을 알 수 있습니다. 이것이 Normal Equation(정규 방정식)입니다. 

이를 위해 함수와 행렬과 미분의 계산 방법을 설명해줍니다. 그리고 다양한 행렬 연산에 대한 기본 정의/특성을 설명해주고 숙제로 직접 증명해보라고 합니다.  이러한 행렬 연산을 이용하여 J(θ) 를 행렬간의 연산으로 바꿀 수 있다고합니다.

J(θ) = 1/2 ∑j=0, m  (h(xj)-yj)^2

        = 1/2 (Xθ - y)^T (Xθ - y)

미분θ * J(θ) = 1/2 미분θ (θ^T X^T - y^T) (Xθ - y)

= 1/2 미분θ [ (θ^T X^T Xθ) - (θ^T X^T y) - (y^T Xθ) + (y^T y) ]

= X^T Xθ - X^T y  =(set) 0백터

X^T Xθ - X^T y   "Normal Equation"

결국 찾고 싶은 값인 θ는 아래와 같은 공식으로 바꿀 수 있습니다. 

θ =  (X^T X)^-1  -  X^T y 

이렇게 하면 Gradient Descent 알고리즘을 통해 θ값을 찾지 않아도 X^T와 y를 이용해서 한번에 J(θ) 값을 제일 작게 만드는 θ값을 계산할 수 있습니다. 다시 말하면 J(θ)를 최소로 만드는 θ를 찾았다는 것은 가장 오차를 작게 만드는 θ를 찾은 것이므로 이값이 들어있는 모델(식)이 가장 좋은 모델이 되는 것입니다.  

내용이 좀 많고 행렬에 대한 이해가 조금 있어야 이해가되는 강의 입니다.  그럼에도 기계학습에서 감히 가장 중요하다고 할 수 있는 비용합수/로스함수 Cost Function(Loss Function)과 Optimizer(Gradient Descent)에 대한 내용을 설명해주는 좋은 강의 입니다.  아래에는 강의에 나오는 주요 용어에 대한 간단한 정의와 강의 링크입니다.

감사합니다.

Linear Regression(선형회귀)

통계학에서, 선형 회귀(線型回歸, 영어: linear regression)는 종속 변수 y와 한 개 이상의 독립 변수 (또는 설명 변수) X와의 선형 상관 관계를 모델링하는 회귀분석 기법이다.(소스: 위키피디아)

Batch/Stochastic Gradient Descent(SGD: 일괄/확률통계 경사 강하법)

SGD : 미분과 같은 연속적 특징을 가지는 목적 함수의 최적화를 위한 반복적인 방법의 하나이다.(소스: 위키피디아) Stochastic gradient descent (often abbreviated SGD) is an iterative method for optimizing an objective function with suitable smoothness properties (e.g. differentiable or subdifferentiable).

Normal Equation(정규 방정식)

정규방정식(Normal equation 혹은 Ordinary least squares 혹은 linear least squares)은 통계학에서 선형 회귀상에서 알지 못하는 값(parameter)를 예측하기 위한 방법론이다.(소스: 위키피디아)

강의 영상

https://www.youtube.com/watch?v=4b4MUYve_U8