The Yellow Lion King 데이터와 함께 살아가기

파이썬의 싸이킷런 패키지(sklearn)을 이용하여 선형회귀 모델 만드는 초간단 예시입니다.

# sklearn 패키지에서 선형회귀 모듈을 불러옵니다.
from sklearn.linear_model import LinearRegression
model_lr = LinearRegression()

# 필요한 훈련 데이터를 간단히 만듭니다.
X_train = np.asarray([[170, 70], [180, 80], [195, 85], [159, 51]])
y_train = np.asarray([120, 130, 140, 100])

# 모델을 훈련 시킵니다.
reg = model_lr.fit(X_train, y_train)

# 간단히 성능을 알아봅니다.
print(reg.score(X_train, y_train))

# 새로운 데이터로 예측을 해봅니다.
y_preds = reg.predict(np.asarray([[170,70]]))
y_preds

출력 내용은 아래와 같습니다.

0.9987095109046329
array([119.25474255])

120에 가까운 숫자가 나오는 것으로 보아 모델이 잘 동작 함을 알 수 있습니다.

사실 데이터 항목이 많아지고 데이터의 분포에 따라서 학습이 잘되지 않는 경우도 많이 있습니다. 이럴 경우 데이터 전처리 작업과의 고달픈 (삽질?) 시간이 필요합니다.

이번에는 차원축소방법중 하나인 TSNE에 대해서 알아보겠습니다.
간단한 설명 후 실제로 Python 에서 어떻게 T-SNE를 이용하는지에 대한 예를 들어 보겠습니다.

TSNE에 대해 간단히 알아 보기

차원 축소는 기계학습(Machine Learning)에서 매우 중요합니다. 왜냐하면 고차원의 데이터를 가지고 모델을 만들면 Under fitting 되기 쉽기 때문입니다. 즉, 쓸모 없는 데이터가 너무 많아서 학습이 되지 않는 현상이지요. 고차원, 즉 여러 데이터 중에서 가장 중요한 데이터만 골라서 (저차원으로 만들어서) 모델에 사용할 수도 있고, 여러 데이터를 이용하여 새로운 데이터를 만들어서 저차원으로 만들수도 있습니다. 어째튼 이처럼 고차원의 데이터를 저차원으로 변환하는 것이 필요합니다. 이것이 바로 차원 축소(Dimension Reduction) 방법입니다. (이외에도 Feature를 만드는 방법에는 Feature Elimination, Feature Selection 등의 방법이 있습니다.) 차원 축소 방법은 선형 방법(Principal Component Analysis (PCA), Independent Component Analysis, Linear Discriminant Analysis, 등)과 비선형 방법(Manifold, Auto-encoder 등)이 있습니다. TSNE는 Manifold 방법중 하나입니다.
SNE (Stochastic Neighbor Embedding)에서 t-SNE (t-distributed Stochastic Neighbor Embedding)로 발전했고, 이후 다시 UMAP (Uniform Manifold Approximation and Projection)으로 발전 하였습니다.

Python 을 이용해 Tsne 구현해 보기

간단한 코드와 설명은 아래와 같습니다.

아래는 화면에 출력된 결과 입니다.

차원 축소가 잘 되었는지 안되었는지 알아볼 수 있는 좋은 시각화 툴 입니다. 이를 이용해서 임베딩된 데이터를 시각화해 봄으로써 품질을 가늠해 볼 수 있습니다.

Perceptron

퍼셉트론이 중요한 이유는 분류 문제를 다루는 알고리즘 중에서 기본적이고 역사적으로 의미가 있는 알고리즘이기 때문입니다. 너무 간단하고 한계가 많아서 실제로 많이 사용되지는 않지만 이것이 기반이되어 최근에 많이 쓰이는 딥러닝이 발전되었기 때문에 퍼셉트론을 이해하는 것은 매우 중요하다고 할 수 있습니다.

자 설명을 시작해 보았습니다.

위키의 정의는 아래와 같습니다.

퍼셉트론은 이진 분류를 위한 지도학습 알고리즘 중 하나이다. 이진 분류기는 숫자로 된 벡터를 인풋이 어떤 특정 분류 그룹에 속하는지를 판단할 수 있는 함수이다. 이것은 선형 분류기 중 하나이다. 다시 말하면, 피처 벡터와 가중치의 조합을 통해 선형 예측함수를 기반으로 예측을 만들 수 있는 분류 알고리즘을 말한다. 

In machine learning, the perceptron is an algorithm for supervised learning of binary classifiers. A binary classifier is a function which can decide whether or not an input, represented by a vector of numbers, belongs to some specific class.[1] It is a type of linear classifier, i.e. a classification algorithm that makes its predictions based on a linear predictor function combining a set of weights with the feature vector.

쉽게 풀어서 설명해 보겠습니다.

퍼셉트론은 아주 간단히 말하면 '알고리즘' 입니다. 조금 더 길게 설명하면 '분류 알고리즘'입니다. 더 길게 설명하면 '여러 데이터 항목의 입력을 받아서 출력은 이진으로 0또는 1을 출력하는 분류 알고리즘' 입니다. 이렇게 하기 위해서 분류 선(모델라인)을 만듭니다.

이 내용은 아래와 같이 정의 할 수 있습니다. 

g(z) = { 1 : z >= 0,      0 : z < 0 }

이 공식을 풀어서 설명하면 입력 z가 0 과 같거나 더 크면 1, 0보다 작으면 0을 출력하는 함수 입니다.

이것이 퍼셉트론 알고리즘 입니다.

이러한 구조에서 w를 조정하면 다양한 논리 연산자(AND, OR, NOT) 로직을 입력값에 적용하여 출력값을 얻을 수 있습니다. x1, x2, x3는 입력값이고 0또는 1의 값을 갖습니다. w1, w2, w3는 각 입력값에 대한 가중치 값입니다. y는 출력값, 즉 0 또는 1입니다. 이때 가중치 w를 조정하면 다양한 로직의 결과로 y 값을 만들어 낼 수 있습니다.  예를 들면, x1을 키, x2를 몸무게, x3를 허리둘래 값이라고 하고 우리가 찾고자 하는 것은 비만 여부(1: 비만, 0: 정상)를 출력하는 모델을 만들 수 있습니다. 이때 가중치 w를 각각 다르게 설정함으로서 키, 몸무게, 허리둘래가 출력값 y, 비만 여부에 미치는 영향도를 조정할 수 있습니다.(+-모두) 이를 위해 y를 가장 잘 맞추는 w들을 찾으면 좋은 모델을 만든 것이라고 할 수 있습니다. 그래서 w는 학습을 하면서 계속 바꾸어가면서 좋은 값인지 아닌지를 확인하는 과정을 거칩니다.

아래는 조금 더 복잡하지만 자세하게 정리된 내용입니다.

X는 입력값을 행렬로 표시했고, x0 = 1 은 바이어스 입니다. 자연스럽게 발생하는 오차를 보정하기 위해 사용한다고 생각하시면 좋겠습니다. 아웃풋을 z로 표시했고 이러한 z값을 만들기위해 함수(h(w^T x))를 이용합니다. x는 자연수(integer), w는 실수(float), z는 논리값(boolean)입니다.

처리는 앞서 설명한 간단한 그림의 내용과 같습니다. 입력 받은 x1, x2,...xD를 가중치 w와 곱해서 모두 더한 값을 아웃풋으로 출력하는 내용입니다. 이러한 계산은 아래와 같이 2단계의 절차를 거칩니다. 

왜 두단계로 나누어 졌을 까요? 앞에서 설명한 내용은 첫번째 단계에서 하는 내용 같은데 두번째 단계에서는 무엇을 하는 것일까요? 왜 필요할까요?

Activation Function

존재의 이유를 찾는 방법중하나는 그 존재가 없으면 어떻게 되는 지 생각해 보는 것입니다. 그래서 첫번째 단계만 계산하고 출력해보겠습니다 x0 =1, x1 = 1,  x2= 1, w0 = 0, w1 = 0.5, w2 = 1 이라고 가정 하겠습니다. 이를 활용해서 첫번째 단계를 계산해보면 

a = x0 * w0 + x1 * w1 + x2 * w2 = 1 * 0 + 1 * 0.5 + 1 * 1 =  1.5 입니다.

이런 우리가 원하는 z값은 0과 1사이의 값인데 1.5가 나왔습니다. 아~ 입력값과 가중치를 곱해서 모두 더하면 1을 넘는 값이 나올 수 있군요. 우리가 원하는 것은 0또는 1이므로 이것을 변환해주는 함수가 필요하겠습니다. 이러한 함수중 하나가 스텝 함수 입니다.

계산값 1.5는 0보다 크므로 스텝함수는 1을 반환합니다.

이처럼 입력과 가중치를 곱해서 나온 값을 입력으로 받아서 변환해주는 함수를 Activation Function이라고 합니다.

Inspired

퍼셉트론은 사람 뇌의 신경세포에서 영감을 받아 만든 것입니다. 그래서 아래의 신경세포 구조와 퍼셉트론을 비교해보면 매우 유사한 것을 느끼 실 수 있습니다.

살짝 이상하게 들릴 수도 있지만 끼워 맞추어 보면, 수상돌기는 외부로부터의 자극을 받아들이는 기능으로 인풋 x와 같고, 핵은 첫번째 단계의 계산을 처리하는 곳으로 외부 입력과 가중치를 계산하는 곳 같고, 축삭은 처리된 자극을 다음 뉴런에게 전달할지 말지를 결정하는 것 같아서 두번째 단계의 계산을 처리하는 액티베이션 함수(Activation Function)와 같아 보입니다. 그리고 마지막으로 축삭 말단은 다음 뉴런으로 전달해주는 역할로 y 값이 되겠네요. 

이러한 퍼셉트론은 여러개를 이어붙여서 다층 퍼셉트론(MLP)을 만들 수도 있습니다.  그 모양은 아래와 같이 딥러닝의 구조와 유사합니다. 딥러닝의 아버지라고 할까요?! ^^

소스

https://slidetodoc.com/neural-networks-part-1-introduction-cse-4309-machine/

https://becominghuman.ai/multi-layer-perceptron-mlp-models-on-real-world-banking-data-f6dd3d7e998f

최대가능도방법 MLE: Maximum Likelihood Estimation 

정의

최대가능도법 MLE에 대해서 알아보겠습니다.

아래는 위키에서 정의된 내용입니다.

최대가능도방법 (最大可能度方法, 영어: maximum likelihood method) 또는 최대우도법(最大尤度法)은 어떤 확률변수에서 표집한 값들을 토대로 그 확률변수의 모수를 구하는 방법이다. 어떤 모수가 주어졌을 때, 원하는 값들이 나올 가능도를 최대로 만드는 모수를 선택하는 방법이다. 점추정 방식에 속한다.

한글로 쓰여진 내용인데 이해하기가 어렵네요 ㅠㅠ   쉽게 정리해 보겠습니다.

먼저 가능도(Likelihood)를 알아야 합니다. 필수 입니다. 그 다음에 최대로 만드는 방법을 설명하면 좋을 것 같습니다. 

가능도는 전에 올렸던 포스팅에서 정리된 내용을 참고하시지요. (지난 포스팅은 https://bigdatamaster.tistory.com/155 여기를 참고하세요.)

간단히 정리하면

  가능도는 변수와 관측값을 가지고 모집단에서 해당 관측값이 추출될 확률을 말합니다.

가능도도 결국 확률이라고 설명했는데 그럼 무엇이 다른 것일까요? 이 질문에 정확한 답을 못하시면 이전 포스팅을 이해하시고 아래 내용을 봐주시면 좋겠습니다. 연속 확률인 경우에 가능도를 계산하기 위해서는 그 분포에 해당하는 PDF 확률밀도 함수를 이용합니다. 대상에 해당하는 확률밀도함수를 이용해서 샘플의 (구간)확률 값을 구해서 가능도를 구할 수 있습니다. 가능도를 정확하게 이해하는 것이 최대가능도법 MLE를 이해하기 위해서는 필수 입니다.  그럼 최대가능도법(MLE)는 무엇일까요? 최대가능도법은 말 그대로

가능도 값을 최대로 만들게하는 값을 찾는 방법/함수

입니다.

Example

직관적으로 이해를 위해 예를 들어보겠습니다. FC서울이 이번 시즌에서 FC수원과의 38 경기중에 30번을 이겼습니다. 이 번주에 열리는 수원과의 경기에서 FC서울이 승리할 확률은 얼마가 될까요?  여러분도 직관적으로 생각하실 수 있을 껍니다. 바로 30/38 = 79% 라고 생각하실 껍니다. 네 맞습니다. 이것이 최대가능도법의 결과 입니다.  이전의 가능도 포스팅에서 설명한 바와 같이 이항(베르누이)분포의 경우 아래와 같은 공식으로 가능도를 계산할 수 있습니다.

n은 전체 게임수, k는 승리한 수, θ는 추정해야할 변수 입니다.

FC서울의 승률을 0.1이라고 가정하고 위의 공식에 대입하여 가능도를 구하면 아래와 같습니다.

결과 값이 P(D|θ) = 0.00000000000000000000211 입니다. 한 마디로 승률이 0.1일 가능성이 매우 작다는 의미 입니다.  그럼 승률을 0.7로 가정하고 다시 공식에 대입해 보겠습니다.

이말은 승률이 0.1일때 보다 0.7일 가능성이 훨씬 높다(0.072)고 해석 할 수 있습니다.

θ값을 최대로 만들기 위해서는 가능도 함수를 θ를 가지고 편미분했을 때 값이 0이되는 θ값을 찾으면 됩니다.

θ에 0, 1, k/n을 대입해 보면 θ가 0 또는 1일때 가능도가 0이 됩니다.  그리고 k/n을 대입했을때 최대값이 나옵니다. 그래서 가능도를 최대로 만들어주는 θ 값은 k/n 입니다.

이 예시는 데이터가 승리/패배로 구분되는 이항분포였기 때문에 이항분포 확률질량함수(PMF)를 사용하였습니다.  분포에 맞는 확률질량함수나 확률분포함수를 이용해서 구할 수 있습니다.

SUMMARY

최대가능도법(MLE)는 가능도(Likelihood)를 최대한으로 높이는 θ를 찾는 방법입니다.

확률질량함수(PMF) 또는 확률밀도함수(PDF)를 통해 계산합니다.

PMF나 PDF는 분포에 따라서 계산 방식이 다릅니다.

MLE를 이용해서 모르는 값을 최대한 정확한 수준으로 추정할 수 있습니다.

참고자료

https://medium.com/towards-data-science/a-gentle-introduction-to-maximum-likelihood-estimation-and-maximum-a-posteriori-estimation-d7c318f9d22d